Lie-Gruppe

Lie-Gruppe,

 

liesche Gruppe, von M. S. Lie im Zusammenhang mit der Untersuchung von Transformationsgruppen von Geometrien und von Lösungsmengen von Differenzialgleichungen eingeführte Objekte. Es sei z. B. (Ḡ, °) die Gruppe der umkehrbaren (invertierbaren) linearen Transformationen des dreidimensionalen euklidischen Vektorraumes V₃ über den reellen Zahlen mit der Hintereinanderausführung als Verknüpfung. Diese entspricht durch Auszeichnung einer Basis umkehrbar eindeutig der multiplikativen Gruppe der invertierbaren dreireihigen quadratischen Matrizen (G, °). G denke man sich in den neundimensionalen euklidischen Vektorraum ℝ⁹ eingebettet, sodass die Matrizenelemente die Koordinaten der jeweiligen Matrix im ℝ⁹ werden. Die euklidische Metrik des ℝ⁹ induziert eine Topologie auf G, sodass G eine topologische, sogar eine differenzierbare Mannigfaltigkeit wird. Die Koordinaten des Produktes C zweier Elemente A und B aus G sind (im ℝ⁹ betrachtet) die Werte von Polynomen, die sich aus den Gesetzen der Matrizenmultiplikation ergeben, wenn man die Koordinaten von A und B, also die Matrizenelemente, einsetzt. Das Produkt wird damit durch Funktionen beschrieben, die analytisch sind, d. h. sich um jeden Punkt in Potenzreihen entwickeln lassen.

 

Allgemein ist eine Lie-Gruppe eine Gruppe (L, °), die folgende weitere Bedingungen erfüllt: 1) L ist eine reelle oder komplexe differenzierbare Mannigfaltigkeit, bei der die Koordinatentransformationen durch beliebig oft differenzierbare Funktionen beschrieben werden; 2) ϕ : L × L → L, definiert durch ϕ (X, Y) : X · Y^-1 ist analytisch; d. h., die Funktionen, die diese Abbildung in Koordinaten beschreiben, sind analytisch. Beispiele sind in Verallgemeinerung des Obigen die Gruppen der invertierbaren linearen Abbildungen von endlichdimensionalen Vektorräumen in sich. - Zu jeder Lie-Gruppe gehört eine Lie-Algebra. Viele Eigenschaften der Lie-Gruppe spiegeln sich in den Eigenschaften dieser zugehörigen Lie-Algebra wider oder lassen sich durch Betrachtung dieser Algebra herleiten. Außer in vielen mathematischen Gebieten, besonders in der Differenzialgeometrie und Analysis, sind Lie-Gruppen bei der Behandlung von Fragen der theoretischen Physik, z. B. in der Kernphysik und in der Relativitätstheorie, von großer Bedeutung.